Les fonctions polynômiales sont les plus faciles à manipuler et à étudier. Dans la physique, on cherche à approximer une fonction par un polynôme au voisinage d’un point qui nous intéresse. Cette opération s’appelle développement limité d’une fonction au voisinage d’un point qui consiste à écrire la fonction en question sous la forme de la somme d’un polynôme et d’un reste négligeable au voisinage du point considéré. Ce chapitre est consacré à l’étude de développement limité des fonctions avec quelques applications à la fin.
Exercice Corrigé sur développement limite
TD N°1 TD N°2 Formule de Taylor-Young
La formule de Taylor-Young permet d’écrire une fonction au voisinage d’un point sous la forme d’une somme d’un polynôme et d’un reste. Mais avant toute chose nous présentons la définition d’une fonction de classe C n qui est nécessaire au cours de ce chapitre.
Formule de Taylor-Lagrange
Le reste de cette formule est différent à celui de la formule de Taylor-Young. Ci-dessous le théorème de Taylor-Lagrange
La formule de Taylor-Young et celle de Taylor-Lagrange ont la même partie polynomiale, mais les restes sont différents. En fait, la formule de Taylor-Young ne donne pas une information sur le reste à part qu’il tend vers 0 quand x tend vers a, or la formule Taylor-Lagrange offre un encadrement du reste. Par ailleurs, la formule de Taylor-Young exige que f soit de classe C n quand il s’agit d’un développement d’ordre n, mais celle de Taylor-Lagrange nécessite que f soit de classe Cn+1
