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Algebre

un parcours de mathématiques. Elle est composée de trois volumes, Intégration et probabilités, Algèbre et géométrie, Topologie et analyse, et elle couvre les notions généralement enseignées sur ces thèmes à ce niveau d’études. C’est en troisième année de licence que se constituent les bases à partir desquelles un étudiant pourra, soit aborder un master de mathématiques appliquées ou de mathématiques pures, soit préparer le CAPES de mathématiques. De nombreuses notions nouvelles sont abordées et il est indispensable que l’étudiant les fasse siennes, se les approprie.
Algebre 1 : cliquez ici
Chapitre1 : Fondement de mathématique(logique)a
Chapitre2 : Polynômes
Chapitre3 : Fractions rationnelles
Chapitre4 : Espaces vectoriels et applications linéaires
Chapitre5 : applications linéaires

Algebre 1.5 : cliquez ici
Chapitre1 : L’espace euclidien IRn
Chapitre2 : Géométrie élémentaire dans IR2 et IR3
Chapitre3 : Nombres complexes
Chapitre4 : Polynômes
Chapitre5 : Fractions rationnelles



CARDINAL D’UN ENSEMBLE 
On ne peut se contenter d’une définition circulaire comme « le cardinal d’un ensemble est son nombre d’éléments ». Depuis Cantor, on procède en gros de la façon suivante : on dit que deux ensembles sont équipotents s’il existe une bijection de l’un vers l’autre, et on conviendra que le cardinal d’un ensemble est la « classe » de tous les ensembles qui sont en bijection avec lui. Attention, on ne peut parler d’« ensemble de tous les ensembles » sans contradiction. C’est pour cela qu’on a employé le terme un peu vague de classe.

Théorème de Zermelo
Ce théorème est un peu surprenant, si on pense à des ensembles « grands » comme R, pour lequel l’ordre naturel n’est certes pas un bon ordre. En fait, ce théorème résulte d’un axiome que nous n’avons pas encore énoncé, et qui est nommé l’axiome du choix

Théorème de Zorn
On peut déduire les théorèmes de l’axiome du choix, mais l’axiome est aussi impliqué par chacun des théorèmes. On va l’admettre, mais donnons néanmoins un exemple de démonstration : le théorème de Zorn implique le théorème de Zermelo

Exercice 
Justifier : l’unicité du plus grand élément, de la borne supérieure, (sous réserve d’existence). Montrer que si A admet un plus grand élément, c’est également sa borne supérieure. Donner un exemple où la borne supérieure de A existe, mais n’est pas plus grand élément de A. 

Remarque : 
La condition I + J = A s’exprime en disant que les idéaux sont étrangers. Par analogie avec le cas de Z, les relations d’équivalence modulo un idéal s’appellent des congruences. Le théorème chinois revient donc à résoudre un système de congruences simultanées, c’est effectivement ce qu’on trouve dans les mathématiques chinoises. Nous verrons une version particulière de ce théorème dans le cas où A est un anneau principal.

Anneaux factoriels 
Rappelons que dans l’ensemble des entiers, tout nombre se décompose de façon unique en produit de nombres premiers. C’est ce qu’on appelle parfois le « théorème fondamental de l’arithmétique ». Les anneaux qui ont cette propriété s’appellent anneaux factoriels. Plus précisément : 
Définition :Un anneau commutatif intègre est factoriel si tout élément non nul et non inversible se décompose de façon unique en produit d’irréductibles.

Matrice congruentes, formes congruentes 
Comme dans le cas des applications linéaires ou des endomorphismes, on peut maintenant se poser un problème de classification des formes bilinéaires. 
• Une forme bilinéaire est donnée : peut-on trouver une base dans laquelle l’écriture de la forme bilinéaire est particulièrement simple ? 
• Comment reconnaître si deux matrices représentent (par rapport à deux bases) la même forme bilinéaire ? 
• Quand deux formes bilinéaires ont-elles la même « signification » géométrique ?