L’objectif
Etudier de manière détaillée les séries numériques ainsi que les suites et séries de fonctions. L’exemple classique des séries entières et séries de Fourier sera traité.
Programme
Chapitre1 :les séries numériques
Chapitre1 : les suites et séries de fonctions
Chapitre2 : les séries entières
Chapitre3 : les séries de fourier
Chapitre4 : les fonctions holomorphes
Chapitre5 : calcul des résidus
Etudier de manière détaillée les séries numériques ainsi que les suites et séries de fonctions. L’exemple classique des séries entières et séries de Fourier sera traité.
Programme
Chapitre1 :les séries numériques
Chapitre1 : les suites et séries de fonctions
Chapitre2 : les séries entières
Chapitre3 : les séries de fourier
Chapitre4 : les fonctions holomorphes
Chapitre5 : calcul des résidus
Intégrales généraliséesles séries numériquesles suites et séries de fonctionsles séries entièresles séries de fourier
I – GENERALITES
1) Définitions
2) Condition nécessaire de convergence d’une série
3) Une évidence fondamentale
4) Somme de série convergente
5) Equivalence Suite/série
6) Reste d’ordre 𝒏𝒏 d’une série convergente
7) Structure algébrique de l’ensemble des séries convergentes
8) Propriété de CAUCHY
II – SERIES A TERMES POSITIIFS
1) Lemme fondamental
2) Théorème de comparaison
3) Comparaison avec une intégrale
4) Séries de Riemann
5) Série géométrique
6) Règle de d’Alembert, Règle de CAUCHY
III – SERIES A TERMES DANS LES ESPACES VECTORIELS NORMES
1) CNS de CAUCHY
2) Converge normale
3) Série usuelles
a – Série géométrique
b – Série exponentielle
4) Suites sommables de réel ou de complexes
5) Séries alternées
Avant-propos
L’apprentissage des mathématiques requiert la recherche active et régulière de nombreux exercices, c’est pourquoi chaque chapitre du cours en propose un grand choix. Ces exercices, tous entièrement corrigés, vont du test de compréhension et d’application directe du cours à l’exercice plus élaboré destiné au travail d’approfondissement. Pour les révisions, le lecteur trouvera un chapitre entièrement consacré à des problèmes de synthèse, tous entièrement corrigés, et pour lesquels nous avons systématiquement privilégié la solution méthodique et raisonnable que peut découvrir l’étudiant lui-même, à une éventuelle solution “rusée”, voire “miraculeuse”.
Cet ouvrage est le fruit d’une expérience de plusieurs années de cours et de travaux dirigés à l’Université d’Angers, sa rédaction a été guidée par un souci pédagogique constant, et nous avons recherché l’équilibre nécessaire entre les points de vue théorique et pratique. Si ce livre s’adresse principalement aux étudiants des trois années de la Licence, il est conçu de manière à être utilisé avec profit par les candidats au CAPES de Mathématiques ou à l’Agrégation interne ainsi que par les élèves des classes préparatoires scientifiques.
Les séries de fonctions trouvent leur utilité dans la résolution d’équations différentielles, ou d’équations aux d´erivées partielles. Bien souvent, ces équations n’ont pas de solution évidente exprimable a l’aide de fonctions usuelles. L’idée est donc de chercher des solutions sous forme de séries. Donnons un exemple.
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Premières propriétés
Avant d'aborder les choses étonnantes, liquidons quelques banalités au demeurant indispensables à connaître. Formellement, la définition de la dérivée d'une fonction complexe d'une variable complexe transpose exactement celle de la dérivée d'une fonction réelle d'une variable réelle. C'est pourquoi nombre de propriétés valides dans le cas réel s'étendent directement au cas complexe. Les démonstrations étant les mêmes mutatis mutandis nous ne les donnerons pas. Nous invitons cependant le lecteur à les retrouver pour lui-même, en se reportant éventuellement à un cours standard sur les fonctions d'une variable réelle.