cours fonctions d'une variable réelle
Presque toutes les fonctions de terminale sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition :
• les fonctions polynômes sont continues sur R ;
• les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition ;
• les fonctions exponentielles sont continues sur R ;
• les fonctions logarithme népérien et logarithme décimal sont continues sur ]0, +∞[ ;
• les fonctions racines n-èmes sont continues sur [0, +∞[ ;
• les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R, la fonction tangente est continue sur tout intervalle ne contenant pas un nombre de la forme π 2 + kπ, k ∈ Z.
• la fonction valeur absolue est continue sur R ;
• toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient) ou composition à partir de ces fonctions de référence sont aussi continues sur leur domaine de définition.
Dérivation complexe
Dans ce chapitre, on donne la définition — très simple — d'une fonction holomorphe, et on tire les conséquences les plus immédiates de celle-ci. On établit aussi les conditions qui caractérisent l'holomorphie par des propriétés différentielles ("équations de Cauchy")
Exemple
On ne peut évidemment pas tirer de conclusions générales à partir de trois exemples ! mais les exemples 2 et 3 suggèrent que des fonctions très simples et très régulières peuvent ne pas être dérivables, ou l'être de manière exceptionnelle. Cette situation contraste avec celle des fonctions d'une variable réelle. Ce contraste ne fera que s'accentuer : l'holomorphie est une condition contraignante, qui s'accompagne de phénomènes tout à fait remarquables
• les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R, la fonction tangente est continue sur tout intervalle ne contenant pas un nombre de la forme π 2 + kπ, k ∈ Z.
• la fonction valeur absolue est continue sur R ;
• toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient) ou composition à partir de ces fonctions de référence sont aussi continues sur leur domaine de définition.
Dérivation complexe
Dans ce chapitre, on donne la définition — très simple — d'une fonction holomorphe, et on tire les conséquences les plus immédiates de celle-ci. On établit aussi les conditions qui caractérisent l'holomorphie par des propriétés différentielles ("équations de Cauchy")
Exemple
On ne peut évidemment pas tirer de conclusions générales à partir de trois exemples ! mais les exemples 2 et 3 suggèrent que des fonctions très simples et très régulières peuvent ne pas être dérivables, ou l'être de manière exceptionnelle. Cette situation contraste avec celle des fonctions d'une variable réelle. Ce contraste ne fera que s'accentuer : l'holomorphie est une condition contraignante, qui s'accompagne de phénomènes tout à fait remarquables
• les fonctions polynômes sont continues sur R ;
• les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition ;
• les fonctions exponentielles sont continues sur R ;
• les fonctions logarithme népérien et logarithme décimal sont continues sur ]0, +∞[ ;
• les fonctions racines n-èmes sont continues sur [0, +∞[ ;
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• les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R, la fonction tangente est continue sur tout intervalle ne contenant pas un nombre de la forme π 2 + kπ, k ∈ Z.
• la fonction valeur absolue est continue sur R ;
• toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient) ou composition à partir de ces fonctions de référence sont aussi continues sur leur domaine de définition.
Dérivation complexe
Dans ce chapitre, on donne la définition — très simple — d'une fonction holomorphe, et on tire les conséquences les plus immédiates de celle-ci. On établit aussi les conditions qui caractérisent l'holomorphie par des propriétés différentielles ("équations de Cauchy")
Exemple
On ne peut évidemment pas tirer de conclusions générales à partir de trois exemples ! mais les exemples 2 et 3 suggèrent que des fonctions très simples et très régulières peuvent ne pas être dérivables, ou l'être de manière exceptionnelle. Cette situation contraste avec celle des fonctions d'une variable réelle. Ce contraste ne fera que s'accentuer : l'holomorphie est une condition contraignante, qui s'accompagne de phénomènes tout à fait remarquables
Presque toutes les fonctions de terminale sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition :
• les fonctions polynômes sont continues sur R ;
• les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition ;
• les fonctions exponentielles sont continues sur R ;
• les fonctions logarithme népérien et logarithme décimal sont continues sur ]0, +∞[ ;
• les fonctions racines n-èmes sont continues sur [0, +∞[ ;
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• les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R, la fonction tangente est continue sur tout intervalle ne contenant pas un nombre de la forme π 2 + kπ, k ∈ Z.
• la fonction valeur absolue est continue sur R ;
• toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient) ou composition à partir de ces fonctions de référence sont aussi continues sur leur domaine de définition.
Dérivation complexe
Dans ce chapitre, on donne la définition — très simple — d'une fonction holomorphe, et on tire les conséquences les plus immédiates de celle-ci. On établit aussi les conditions qui caractérisent l'holomorphie par des propriétés différentielles ("équations de Cauchy")
Exemple
On ne peut évidemment pas tirer de conclusions générales à partir de trois exemples ! mais les exemples 2 et 3 suggèrent que des fonctions très simples et très régulières peuvent ne pas être dérivables, ou l'être de manière exceptionnelle. Cette situation contraste avec celle des fonctions d'une variable réelle. Ce contraste ne fera que s'accentuer : l'holomorphie est une condition contraignante, qui s'accompagne de phénomènes tout à fait remarquables
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