limites et continuité

On a vu dans le chapitre consacré aux droites comment calculer la pente d'une droite. Qu'en est-il pour une courbe ? Contrairement aux droites, la pente d'une courbe n'est pas constante. Par exemple, quand les coureurs du Tour de France gravissent un col, la pente n'est pas toujours la même ; certains tronçons sont plus raides que d'autres. Comme la pente d'une droite est le déplacement vertical y divisé par le déplacement horizontal x, la pente en un point précis d'une courbe sera obtenu en choisissant x0 , autrement dit en prenant deux points « proches » sur la courbe. La pente d'une courbe en un point est donc elle aussi une limite.

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Introduction
L’histoire des rapports entre la science et la technique est surprenante et tumultueuse comme celle d’un couple alliant l’amour, la haine et la nécessité. On peut bien sûr s’extasier, à juste titre, devant les merveilles obtenues par la pensée dans l’étude du mouvement depuis Aristote jusqu’à Einstein en passant par Galilée, Newton et Laplace. On peut aussi être séduit par les réussites de la technique depuis la roue jusqu’à l’ordinateur en passant par la lunette astronomique et l’avion.

Bref, au-delà de l’interrogation séculaire sur la prééminence de l’une sur l’autre, la science et la technique ne sont-elles pas les deux visages de l’intelligence et de la raison ? La physique moderne peut-elle se contenter des modèles mathématiques qui l’ont amenée aux confins de la connaissance de notre monde macroscopique ? Non, à l’évidence, les hommes ont besoin de réaliser des objets, de vérifier leurs théories, d’expérimenter, de simuler, d’explorer. En somme, les hommes ont besoin de chercher, de créer et de comprendre.

Introduction aux problèmes de perturbation singulière
Les modèles mathématiques utilisés en physique conduisent le plus souvent à des problèmes pour lesquels il n’est pas possible de donner une solution explicite. Les solutions numériques sont même parfois difficiles à mettre en œuvre, particulièrement quand de petits paramètres sont présents ou quand les domaines de calcul sont très grands.

Dans de telles situations, on peut tenter d’élaborer des modèles plus simples, soit en annulant un paramètre, soit en se limitant à l’étude d’un domaine plus petit ; les deux simplifications pouvant être combinées.Lorsque l’on annule un petit paramètre, noté de façon symbolique ε, il se peut que la solution du problème initial ne tende pas uniformément vers la solution du problème réduit quand ε → 0. On est alors confronté à un problème dit de perturbation singulière pour lesquels de grandes difficultés mathématiques peuvent se poser.

On a vu dans le chapitre consacré aux droites comment calculer la pente d'une droite. Qu'en est-il pour une courbe ? Contrairement aux droites, la pente d'une courbe n'est pas constante. Par exemple, quand les coureurs du Tour de France gravissent un col, la pente n'est pas toujours la même ; certains tronçons sont plus raides que d'autres. Comme la pente d'une droite est le déplacement vertical y divisé par le déplacement horizontal x, la pente en un point précis d'une courbe sera obtenu en choisissant x0 , autrement dit en prenant deux points « proches » sur la courbe. La pente d'une courbe en un point est donc elle aussi une limite.

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Introduction
L’histoire des rapports entre la science et la technique est surprenante et tumultueuse comme celle d’un couple alliant l’amour, la haine et la nécessité. On peut bien sûr s’extasier, à juste titre, devant les merveilles obtenues par la pensée dans l’étude du mouvement depuis Aristote jusqu’à Einstein en passant par Galilée, Newton et Laplace. On peut aussi être séduit par les réussites de la technique depuis la roue jusqu’à l’ordinateur en passant par la lunette astronomique et l’avion.

Bref, au-delà de l’interrogation séculaire sur la prééminence de l’une sur l’autre, la science et la technique ne sont-elles pas les deux visages de l’intelligence et de la raison ? La physique moderne peut-elle se contenter des modèles mathématiques qui l’ont amenée aux confins de la connaissance de notre monde macroscopique ? Non, à l’évidence, les hommes ont besoin de réaliser des objets, de vérifier leurs théories, d’expérimenter, de simuler, d’explorer. En somme, les hommes ont besoin de chercher, de créer et de comprendre.

Introduction aux problèmes de perturbation singulière
Les modèles mathématiques utilisés en physique conduisent le plus souvent à des problèmes pour lesquels il n’est pas possible de donner une solution explicite. Les solutions numériques sont même parfois difficiles à mettre en œuvre, particulièrement quand de petits paramètres sont présents ou quand les domaines de calcul sont très grands.

Dans de telles situations, on peut tenter d’élaborer des modèles plus simples, soit en annulant un paramètre, soit en se limitant à l’étude d’un domaine plus petit ; les deux simplifications pouvant être combinées.Lorsque l’on annule un petit paramètre, noté de façon symbolique ε, il se peut que la solution du problème initial ne tende pas uniformément vers la solution du problème réduit quand ε → 0. On est alors confronté à un problème dit de perturbation singulière pour lesquels de grandes difficultés mathématiques peuvent se poser.