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Le programme officiel de mathématiques supérieures prévoit que les notions apparaissant dans les trois premiers chapitres (logique, ensembles et applications, structures) soient acquises progressivement au cours de l’année, au fur et à mesure des exemples rencontrés.
Parmi les propriétés des transformations orthogonales, l’une est particulièrement utile, car elle permet souvent de décrire une transformation en se restreignant à des sousespaces.
Autres angles
La notion d’angle peut être généralisée, mais il n’est pas toujours possible de faire de l’ensemble des angles un groupe comme nous l’avons fait pour l’ensemble des angles orientés de vecteurs unitaires. Donnons seulement des pistes qui seront prolongées dans les chapitres de géométrie
La dimension trois Nous allons maintenant examiner le cas des transformations orthogonales d’un espace vectoriel euclidien de dimension trois. Moins simple qu’en dimension deux, cette étude est néanmoins très importante pour les applications à la géométrie. Le théorème fondamental sur les transformations orthogonales se précise
La décomposition d’Iwasawa
Montrer que toute matrice inversible s’écrit comme produit d’une matrice orthogonale, d’une matrice diagonale à coefficients strictement positifs, d’une matrice unipotente triangulaire supérieure3 . On pourra s’inspirer du procédé dit de GramSchmidt qui permet d’obtenir une base orthonormale à partir d’une base quelconque.
Espaces affines
La terminologie de l’algèbre linéaire a une connotation géométrique (espace vectoriel, dimension, droite vectorielle, plan vectoriel, orthogonalité, etc.). Cependant, même si l’on développe en l’étudiant des images mentales géométriques, il s’agit plus d’algèbre, c’est-à-dire de calcul, que de géométrie.