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cours algébre 1

un parcours de mathématiques. Elle est composée de trois volumes, Intégration et probabilités, Algèbre et géométrie, Topologie et analyse, et elle couvre les notions généralement enseignées sur ces thèmes à ce niveau d’études. C’est en troisième année de licence que se constituent les bases à partir desquelles un étudiant pourra, soit aborder un master de mathématiques appliquées ou de mathématiques pures, soit préparer le CAPES de mathématiques. De nombreuses notions nouvelles sont abordées et il est indispensable que l’étudiant les fasse siennes, se les approprie.

Les éléments du Module 
Chapitre1 : Fondement de mathématique(logique) cliquez ici 
Chapitre2 : Polynômes  cliquez ici 
Chapitre3 : Fractions rationnelles cliquez ici 
Chapitre4 : Espaces vectoriels et applications linéaires cliquez ici 
Chapitre5 : applications linéaires cliquez ici 



Sesquilinéarité 
Dans le cas où le corps de base est le corps des complexes, les formes bilinéaires symétriques et les formes quadratiques associées ne sont pas les bonnes généralisations du produit scalaire : une forme quadratique est à valeurs complexes et ne peut permettre de définir une norme. La bonne généralisation est celle des formes sesquilinéaires hermitiennes et des formes hermitiennes associées, où le carré du module remplace le carré.

Définition
La seconde propriété s’appelle semilinéarité, d’où le nom « sesquilinéaire », ce qui signifie « une fois et demi » linéaire...La troisième propriété est parfois appelée symétrie hermitienne. Nous n’allons pas étudier longuement les formes sesquilinéaires hermitiennes, leur étude est très semblable à celle des formes bilinéaires symétriques : on peut par exemple définir le rang, étudier la notion d’orthogonalité... Il est possible de récupérer une forme sesquilinéaire hermitienne à partir de la forme hermitienne associée par une formule de polarisation un peu plus compliquée que dans le cas rée

Démonstration
L’existence d’une base orthogonale est assurée dans le cas général d’une forme bilinéaire symétrique. Dans le cas euclidien ou hermitien, le rang est égal à la dimension, la forme quadratique ne prend que des valeurs strictement positives sur les vecteurs non nuls, ce qui permet d’obtenir une base orthonormale à partir d’une base orthogonale. Le reste suit, en observant néanmoins que dans le cas hermitien, sont conjugués.

Exercice
Généraliser la méthode de Gauss au cas des formes hermitiennes :il s’agit de prouver que toute forme sesquilinéaire hermitienne peut se décomposer en une combinaison (à coefficients réels) de carrés de module de formes linéaires indépendantes. On observera que

Proposition
f est autoadjoint si et seulement si sa matrice, dans une base orthonormale est égale à son adjointe. On dit qu’elle est auto-adjointe (hermitienne dans le cas complexe, symétrique dans le cas réel). À ce stade de notre étude, on peut observer la situation suivante. Si E est un espace vectoriel euclidien, une matrice symétrique peut s’interpréter de deux façons :
Soit comme la matrice d’une forme bilinéaire symétrique, par rapport à une base.
Soit comme la matrice d’un endomorphisme autoadjoint par rapport à une base orthonormale.

LES GROUPES LINÉAIRES ET SPÉCIAL LINÉAIRES
Quand on étudie un groupe, il est très utile de connaître des générateurs qui soient le plus simple possible. Ainsi, les transpositions sont les générateurs privilégiés du groupe symétrique. Pour l’étude du groupe alterné, on utilise les 3-cycles. Une idée qui va nous guider : les transpositions sont, parmi les permutations différentes de l’identité, celles qui ont le plus de points fixes.