mercredi 5 octobre 2016

analyse 2 exercices corriges


L'ANALYSE MATHEMATIQUE donne un ensemble de regles gouvernant la manipulation des limites et des infiniment petits: regles de changement de variables, regles d'interversion de limites, regles de derivation so us Ie signe integrale, etc. On ne peut toutefois reduire I'Analyse a cette gymnastique formeJle sans perdre de vue ses objets principaux et Ie sens meme de sa demarche.
TD
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Premières propriétés 
Avant d'aborder les choses étonnantes, liquidons quelques banalités au demeurant indispensables à connaître. Formellement, la définition de la dérivée d'une fonction complexe d'une variable complexe transpose exactement celle de la dérivée d'une fonction réelle d'une variable réelle. C'est pourquoi nombre de propriétés valides dans le cas réel s'étendent directement au cas complexe. Les démonstrations étant les mêmesnous ne les donnerons pas. Nous invitons cependant le lecteur à les retrouver pour lui-même, en se reportant éventuellement à un cours standard sur les fonctions d'une variable réelle.

AVANT-PROPOS
L'Analyse complexe etudie les fonctions holomorphes d'une ou plusieurs variables complexes localement ou globalement, ainsi que d'autres notions connexes. Localement, c'est-a-dire au voisinage d'un point de en (nEN*), ces fonctions sont des sommes de series entieres convergentes ; globalement, meme s'il s'agit de fonctions sur un ouvert de C, des procedes de topologie algebrique ou differentielle doivent etre utilises

Les modèles mathématiques
Les modèles mathématiques utilisés en physique conduisent le plus souvent à des problèmes pour lesquels il n’est pas possible de donner une solution explicite. Les solutions numériques sont même parfois difficiles à mettre en œuvre, particulièrement quand de petits paramètres sont présents ou quand les domaines de calcul sont très grands. 

Dans de telles situations, on peut tenter d’élaborer des modèles plus simples, soit en annulant un paramètre, soit en se limitant à l’étude d’un domaine plus petit ; les deux simplifications pouvant être combinées. Lorsque l’on annule un petit paramètre, noté de façon symbolique ε, il se peut que la solution du problème initial ne tende pas uniformément vers la solution du problème réduit quand ε → 0. On est alors confronté à un problème dit de perturbation singulière pour lesquels de grandes difficultés mathématiques peuvent se poser.