L’objectif
Acquérir les notions et techniques de base d’Analyse Complexe.
Donner des applications : résolution de certaines équations différentielles par Fourier ou Laplace
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Table des matières
1) calcul vectoriel intégral
Préliminaires du calcul vectoriel intégral
- Notions topologiques et notations
- Courbes
- Surfaces
Champs vectoriels et opérateurs
- Gradient-Divergence-Rotationnel-Laplacien
- Opérateur (nabla)
- Champs vectoriels dérivant d’un potentiel
Intégrales curvilignes
- Intégrale curviligne d’une fonction scalaire
- Intégrale curviligne d’une fonction vectorielle
- Indépendance du chemin
Théorème de Green
- Définitions et énoncé du théorème
Intégrales de surfaces
- Intégrale de surface d’une fonction scalaire
- Intégrale de surface d’une fonction vectorielle
Théorème de la divergence
- Définitions et énoncé du théorème
Théorème de Stokes
- Définitions et énoncé du théorème
2) Fonctions Holomorphes et théorie des résidus
- Rappels sur les nombres complexes
- Fonctions complexes d’une variable complexe
- Fonction holomorphes – Equations de Cauchy-Riemann
- Fonctions holomorphes élémentaires
- Intégration d’une fonction holomorphe
- Série de Taylor d’une fonction holomorphe
- Fonction holomorphe et séries de Laurent – Pôles et résidus
- Théorème des résidus
- Applications de la méthode des résidus au calcul des intégrales réelles
Convolution des fonctions
- Définition
- Propriétés
Transformations de Fourier
- Définitions
- Propriétés
- Exemples
- Table des transformées de Fourier usuelles
Transformation de Laplace
- Définitions
- Existence
- Propriétés
- Table des transformées usuelles
- Applications
Equations aux Dérivées Partielles particulières
- Concepts de base
- Représentation d’une fonction périodique par une série de Fourier
- Systèmes spéciaux de sturm-Liouville (SL)
- Séparation des variables : solution complète de plusieurs problèmes
- Equation de la chaleur (à une dimension)
- Equation des ondes (à une dimension)