Analyse 3 SMP S3
Chapitre 1 :Introduction et rappels
Chapitre 2 :Analyse Complexe (Fonctions Complexes)
Chapitre 3 :Intégration Complexe (analyse vectorielle)
Chapitre 4 : Séries de Fourier
Chapitre 5 : Transformée de Laplace
Chapitre 6 : Transformée de Fourier
Chapitre 7: équations aux dérivées partielles particuliers
Exercice Corrigé Analyse 3
Table des matières
1) calcul vectoriel intégral
Préliminaires du calcul vectoriel intégral
- Notions topologiques et notations
- Courbes
- Surfaces
Champs vectoriels et opérateurs
- Gradient-Divergence-Rotationnel-Laplacien
- Opérateur (nabla)
- Champs vectoriels dérivant d’un potentiel
Intégrales curvilignes
- Intégrale curviligne d’une fonction scalaire
- Intégrale curviligne d’une fonction vectorielle
- Indépendance du chemin
Théorème de Green
- Définitions et énoncé du théorème
Intégrales de surfaces
- Intégrale de surface d’une fonction scalaire
- Intégrale de surface d’une fonction vectorielle
Théorème de la divergence
- Définitions et énoncé du théorème
Théorème de Stokes
- Définitions et énoncé du théorème
2) Fonctions Holomorphes et théorie des résidus
- Rappels sur les nombres complexes
- Fonctions complexes d’une variable complexe
- Fonction holomorphes – Equations de Cauchy-Riemann
- Fonctions holomorphes élémentaires
- Intégration d’une fonction holomorphe
- Série de Taylor d’une fonction holomorphe
- Fonction holomorphe et séries de Laurent – Pôles et résidus
- Théorème des résidus
- Applications de la méthode des résidus au calcul des intégrales réelles
Convolution des fonctions
- Définition
- Propriétés
Transformations de Fourier
- Définitions
- Propriétés
- Exemples
- Table des transformées de Fourier usuelles
Transformation de Laplace
- Définitions
- Existence
- Propriétés
- Table des transformées usuelles
- Applications
Equations aux Dérivées Partielles particulières
- Concepts de base
- Représentation d’une fonction périodique par une série de Fourier
- Systèmes spéciaux de sturm-Liouville (SL)
- Séparation des variables : solution complète de plusieurs problèmes
- Equation de la chaleur (à une dimension)
- Equation des ondes (à une dimension)
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Table des matiéres
Fonctions de variable complexe
Fonctions de plusieurs variables
Séries numériques
Suites de fonctions
Séries entières
Séries de Fourier
Premières propriétés
Avant d'aborder les choses étonnantes, liquidons quelques banalités au demeurant indispensables à connaître. Formellement, la définition de la dérivée d'une fonction complexe d'une variable complexe transpose exactement celle de la dérivée d'une fonction réelle d'une variable réelle. C'est pourquoi nombre de propriétés valides dans le cas réel s'étendent directement au cas complexe. Les démonstrations étant les mêmes mutatis mutandis nous ne les donnerons pas. Nous invitons cependant le lecteur à les retrouver pour lui-même, en se reportant éventuellement à un cours standard sur les fonctions d'une variable réelle.