Cours Analyse 2
L'ANALYSE MATHEMATIQUE donne un ensemble de regles gouvernant la manipulation des limites et des infiniment petits: regles de changement de variables, regles d'interversion de limites, regles de derivation so us Ie signe integrale, etc. On ne peut toutefois reduire I'Analyse a cette gymnastique formeJle sans perdre de vue ses objets principaux et Ie sens meme de sa demarche.
COURS
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Dérivabilité et opérations
Les formules familières qui relient la dérivation aux opérations algébriques restent valables. Les formules ci-dessous peuvent être regardées comme ponctuelles ou globales, et doivent se comprendre ainsi : si le membre de droite existe, alors le membre de gauche existe et a la valeur indiquée par la formule
Les fonctions holomorphes
Les fonctions holomorphes sur un ouvert D de C sont les fonctions differentiables au sens complexe en tout point de D ; elles sont caracterisees a I'aide d'operateurs differentiels particuliers , d", d'ou leurs proprietes elementaires ; une premiere etude de la fonction logarithme complexe est alors possible. L'integration des formes differentielles est essentielle pour la suite: les formes differentielles de degre 1 et 2 sur un ouvert de C sont definies, ainsi que les ensembles sur lesquels on les integre (chaines differentiables) et la formule fondamentale de Stokes est etablie
réguliers et singuliers
Ce problème est caractéristique d’une perturbation singulière. Ce type de problème sera étudié de façon approfondie dans la suite. Toutefois, le premier problème appelle une remarque. On peut envisager un comportement asymptotique en ε sous la forme d’un développement, d’ailleurs justifié par Poincaré pour ce type d’équation linéaire
On en tire deux choses
On a d'emblée l'ensemble de définition maximum en prenant une représentation irréductible, c'est-à -dire dans laquelle A et B sont premiers entre eux. Nous avons rappelé ces propriétés élémentaires des zéros et des pôles parce que nous les retrouverons dans le cadre général des fonctions holomorphes. On ne peut pas s'évader du monde des fonctions rationnelles par des combinaisons algébriques. Au chapitre suivant, nous verrons comment l'analyse permet d'inventer des fonctions nouvelles.
FONCTIONS HOLOMORPHES
Par application de la formule integrale de Cauchy sur Ie bord d'un disque, puis sur Ie bord d'une couronne, on obtient Ie developpement (de Taylor) en serie entiere en Z-Zo d'une fonction holomorphe au voisinage d'un point Zo et Ie developpement en serie de Laurent d'une fonction holomorphe dans un disque prive de son centre.
Les formules familières qui relient la dérivation aux opérations algébriques restent valables. Les formules ci-dessous peuvent être regardées comme ponctuelles ou globales, et doivent se comprendre ainsi : si le membre de droite existe, alors le membre de gauche existe et a la valeur indiquée par la formule
Les fonctions holomorphes
Les fonctions holomorphes sur un ouvert D de C sont les fonctions differentiables au sens complexe en tout point de D ; elles sont caracterisees a I'aide d'operateurs differentiels particuliers , d", d'ou leurs proprietes elementaires ; une premiere etude de la fonction logarithme complexe est alors possible. L'integration des formes differentielles est essentielle pour la suite: les formes differentielles de degre 1 et 2 sur un ouvert de C sont definies, ainsi que les ensembles sur lesquels on les integre (chaines differentiables) et la formule fondamentale de Stokes est etablie
réguliers et singuliers
Ce problème est caractéristique d’une perturbation singulière. Ce type de problème sera étudié de façon approfondie dans la suite. Toutefois, le premier problème appelle une remarque. On peut envisager un comportement asymptotique en ε sous la forme d’un développement, d’ailleurs justifié par Poincaré pour ce type d’équation linéaire
On en tire deux choses
On a d'emblée l'ensemble de définition maximum en prenant une représentation irréductible, c'est-à -dire dans laquelle A et B sont premiers entre eux. Nous avons rappelé ces propriétés élémentaires des zéros et des pôles parce que nous les retrouverons dans le cadre général des fonctions holomorphes. On ne peut pas s'évader du monde des fonctions rationnelles par des combinaisons algébriques. Au chapitre suivant, nous verrons comment l'analyse permet d'inventer des fonctions nouvelles.
FONCTIONS HOLOMORPHES
Par application de la formule integrale de Cauchy sur Ie bord d'un disque, puis sur Ie bord d'une couronne, on obtient Ie developpement (de Taylor) en serie entiere en Z-Zo d'une fonction holomorphe au voisinage d'un point Zo et Ie developpement en serie de Laurent d'une fonction holomorphe dans un disque prive de son centre.
Un grand nombre de theoremes fondamentaux en decoulent tres simplement : theoreme d'identite (ou principe du prolongement analytique), inegalites de Cauchy, theoreme de Liouville, principe du maximum, lemme de Schwarz. Le developpement de Taylor d'une fonction holomorphe dans un disque permet I'approximation d'une fonction holomorphe par des polynomes holomorphes,
L'ANALYSE MATHEMATIQUE donne un ensemble de regles gouvernant la manipulation des limites et des infiniment petits: regles de changement de variables, regles d'interversion de limites, regles de derivation so us Ie signe integrale, etc. On ne peut toutefois reduire I'Analyse a cette gymnastique formeJle sans perdre de vue ses objets principaux et Ie sens meme de sa demarche.
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Dérivabilité et opérations
Les formules familières qui relient la dérivation aux opérations algébriques restent valables. Les formules ci-dessous peuvent être regardées comme ponctuelles ou globales, et doivent se comprendre ainsi : si le membre de droite existe, alors le membre de gauche existe et a la valeur indiquée par la formule
Les fonctions holomorphes
Les fonctions holomorphes sur un ouvert D de C sont les fonctions differentiables au sens complexe en tout point de D ; elles sont caracterisees a I'aide d'operateurs differentiels particuliers , d", d'ou leurs proprietes elementaires ; une premiere etude de la fonction logarithme complexe est alors possible. L'integration des formes differentielles est essentielle pour la suite: les formes differentielles de degre 1 et 2 sur un ouvert de C sont definies, ainsi que les ensembles sur lesquels on les integre (chaines differentiables) et la formule fondamentale de Stokes est etablie
réguliers et singuliers
Ce problème est caractéristique d’une perturbation singulière. Ce type de problème sera étudié de façon approfondie dans la suite. Toutefois, le premier problème appelle une remarque. On peut envisager un comportement asymptotique en ε sous la forme d’un développement, d’ailleurs justifié par Poincaré pour ce type d’équation linéaire
On en tire deux choses
On a d'emblée l'ensemble de définition maximum en prenant une représentation irréductible, c'est-à -dire dans laquelle A et B sont premiers entre eux. Nous avons rappelé ces propriétés élémentaires des zéros et des pôles parce que nous les retrouverons dans le cadre général des fonctions holomorphes. On ne peut pas s'évader du monde des fonctions rationnelles par des combinaisons algébriques. Au chapitre suivant, nous verrons comment l'analyse permet d'inventer des fonctions nouvelles.
FONCTIONS HOLOMORPHES
Par application de la formule integrale de Cauchy sur Ie bord d'un disque, puis sur Ie bord d'une couronne, on obtient Ie developpement (de Taylor) en serie entiere en Z-Zo d'une fonction holomorphe au voisinage d'un point Zo et Ie developpement en serie de Laurent d'une fonction holomorphe dans un disque prive de son centre.
Les formules familières qui relient la dérivation aux opérations algébriques restent valables. Les formules ci-dessous peuvent être regardées comme ponctuelles ou globales, et doivent se comprendre ainsi : si le membre de droite existe, alors le membre de gauche existe et a la valeur indiquée par la formule
Les fonctions holomorphes
Les fonctions holomorphes sur un ouvert D de C sont les fonctions differentiables au sens complexe en tout point de D ; elles sont caracterisees a I'aide d'operateurs differentiels particuliers , d", d'ou leurs proprietes elementaires ; une premiere etude de la fonction logarithme complexe est alors possible. L'integration des formes differentielles est essentielle pour la suite: les formes differentielles de degre 1 et 2 sur un ouvert de C sont definies, ainsi que les ensembles sur lesquels on les integre (chaines differentiables) et la formule fondamentale de Stokes est etablie
réguliers et singuliers
Ce problème est caractéristique d’une perturbation singulière. Ce type de problème sera étudié de façon approfondie dans la suite. Toutefois, le premier problème appelle une remarque. On peut envisager un comportement asymptotique en ε sous la forme d’un développement, d’ailleurs justifié par Poincaré pour ce type d’équation linéaire
On en tire deux choses
On a d'emblée l'ensemble de définition maximum en prenant une représentation irréductible, c'est-à -dire dans laquelle A et B sont premiers entre eux. Nous avons rappelé ces propriétés élémentaires des zéros et des pôles parce que nous les retrouverons dans le cadre général des fonctions holomorphes. On ne peut pas s'évader du monde des fonctions rationnelles par des combinaisons algébriques. Au chapitre suivant, nous verrons comment l'analyse permet d'inventer des fonctions nouvelles.
FONCTIONS HOLOMORPHES
Par application de la formule integrale de Cauchy sur Ie bord d'un disque, puis sur Ie bord d'une couronne, on obtient Ie developpement (de Taylor) en serie entiere en Z-Zo d'une fonction holomorphe au voisinage d'un point Zo et Ie developpement en serie de Laurent d'une fonction holomorphe dans un disque prive de son centre.
Un grand nombre de theoremes fondamentaux en decoulent tres simplement : theoreme d'identite (ou principe du prolongement analytique), inegalites de Cauchy, theoreme de Liouville, principe du maximum, lemme de Schwarz. Le developpement de Taylor d'une fonction holomorphe dans un disque permet I'approximation d'une fonction holomorphe par des polynomes holomorphes,
