Les modèles mathématiques utilisés en physique conduisent le plus souvent à des problèmes pour lesquels il n’est pas possible de donner une solution explicite. Les solutions numériques sont même parfois difficiles à mettre en œuvre, particulièrement quand de petits paramètres sont présents ou quand les domaines de calcul sont très grands. Dans de telles situations, on peut tenter d’élaborer des modèles plus simples, soit en annulant un paramètre, soit en se limitant à l’étude d’un domaine plus petit ; les deux simplifications pouvant être combinées.
topologies
Les topologies sur des espaces fonctionnels interviennent souvent de façon naturelle pour le problème physique considéré (conservation d’une énergie correspondant à une norme par exemple) ; les espaces fonctionnels peuvent correspondre à des fonctions plus ou moins régulières (éventuellement des distributions). On est aussi amené à changer de topologie pour améliorer la convergence. C’est le cas des topologies dites faibles.
Conclusion
Les problèmes de perturbations singulières se rencontrent très souvent en Physique et de nombreuses méthodes ont été imaginées pour les traiter. Une idée commune à toutes les méthodes est naturellement de corriger ou d’éviter le caractère non uniformément valable d’une première approximation.
La méthode des développements asymptotiques raccordés suit aussi cette logique. Elle consiste à rechercher d’abord des approximations dans différentes régions significatives où est définie la solution et ensuite à les raccorder pour rendre précisément la solution composite uniformément valable.
Les chapitres suivants sont consacrés à la mise en place et à l’application de la méthode des approximation successives complémentaires. On verra que, sous sa forme régulière, cette méthode conduit aux mêmes résultats que la méthode des développemnts asymptotiques raccordés mais sans faire appel à la délicate notion de principe de raccordement.