COURS Séries de Fourier
Table des matières- Décomposition de Fourier
- Fonction T -périodique
- Résolution des équations différentielles
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Ci-dessous sont décrits brièvement les contenus des chapitres. Le chapitre 1, est une introduction aux intégrales indéfinies et leurs propriétés, ainsi que les méthodes et techniques d’intégration ; qui sont importants dans tout calcul intégral. Dans le deuxième chapitre, on s’intéresse à l’étude des intégrales définies plus précisément l’intégrale de Riemann, les sommes de Darboux, sommes de Riemann et leurs propriétés. Le chapitre trois est réservé à la résolution des équations différentielles d’ordre un ainsi que leurs différentes méthodes de résolutions. Nous abordons au chapitre quatre la méthode de résolution des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants. Ce polycopie à été établie en vue de rassembler un maximum de considération afin que l’étudiant puisse non seulement bien assimiler l’éssentiel de son cours mais aussi manipuler les applications.
Les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l’étude des fonctions périodiques. C’est à partir de ce concept que s’est développée la branche des mathématiques connue sous le nom d’analyse harmonique.
L’étude d’une fonction périodique par les séries de Fourier comprend deux volets :
• l’analyse, qui consiste en la détermination de la suite de ses coefficients de Fourier ;
• la synthèse, qui permet de retrouver, en un certain sens, la fonction à l’aide de la suite de ses coefficients.
Au-delà du problème de la décomposition, la théorie des séries de Fourier établit une correspondance entre la fonction périodique (représentation temporelle) et les coefficients de Fourier (représentation fréquentielle ou spectre en fréquence). De ce fait, l’analyse de Fourier peut être considérée comme une nouvelle façon de décrire les fonctions périodiques. Des opérations telles que la dérivation s’écrivent simplement en termes de coefficients de Fourier. La construction d’une fonction périodique solution d’une équation fonctionnelle peut se ramener à la construction des coefficients de Fourier correspondants. Le spectre fréquentiel d’un signal est la représentation de ce signal dans le domaine fréquentiel, il peut être généré aussi par la transformée de Fourier du signal, et les valeurs résultantes sont généralement présentées selon l’amplitude et la phase, toutes deux tracés en fonction de la fréquence.
