- Fonctions de plusieurs variables. Limite. Continuité.
- Calcul différentiel
- Théorème des accroissements finis
- Difféomorphismes
- Formules de Taylor
- Extrema
Fonctions de plusieurs variables. Limite. Continuité.
Que sont les fonctions de plusieurs variables ? Dans ce chapitre nous allons étudier les fonctions de plusieurs variables dans des cadres particuliers (R 2 ou R 3 ), mais également dans un cadre très général (R n ). Nous n’étudierons pas le cas encore plus général dans lequel la dimension des espaces est infinie. Nous laissons cela pour un cours un peu plus avancé. Ces fonctions seront donc de la forme
Que sont les fonctions de plusieurs variables ? Dans ce chapitre nous allons étudier les fonctions de plusieurs variables dans des cadres particuliers (R 2 ou R 3 ), mais également dans un cadre très général (R n ). Nous n’étudierons pas le cas encore plus général dans lequel la dimension des espaces est infinie. Nous laissons cela pour un cours un peu plus avancé. Ces fonctions seront donc de la forme
f : E ⊂ R → F ⊂ R
où p et q sont des entiers naturels > 0. Autrement dit, les éléments de l’ensemble de départ E seront des vecteurs du type x = (x1, ..., xp), et les éléments de l’ensemble d’arrivée seront des vecteurs du type f(x) = (f1(x), ..., fq(x)), où x est un vecteur de E.
Nous considérons plusieurs cas de fonctions à plusieurs variables, donc voici quelques illustrations graphiques.
Théorème des accroissements finis
Ce chapitre est dédié à l’un des résultats fondamentaux du calcul différentiel qui permettra de résoudre pas mal d’exercices. Nous allons commencer par des résultats connus pour des fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles. Nous généraliserons un résultat analogue en dimension supérieure (pour l’espace de départ, puis pour l’espace d’arrivée). Nous terminerons enfin ce chapitre par une application.
Formules de Taylor
Avant de donner les formules de Taylor, qui dépendent des différentielles d’ordre n ≥ 1 dans différents cas de fonctions : fonctions de R dans R, fonctions de R dans R q et fonctions de R p dans R q , nous allons donner un aperçu de ce qu’est une différentielle d’ordre 2 dans un premier temps, avec un théorème de symétrie important : le théorème de Schwarz. Nous définirons également la matrice Hessienne qui nous servira beaucoup dans le chapitre 7 sur les extrema.
Extrema
Ce chapitre est consacré à l’étude de l’existence de deux types d’extrema : les extrema libre et les extrema liés. Les seconds correspondent au cas où les extrema sont justement “liés” à des contraintes. Dans les deux cas, nous pourrons définir ce que l’on appelle extrema locaux (ou relatifs) et les extrema globaux (ou absolus). Il se pourra donc que des minima locaux par exemple ne soit pas globaux si l’on étend le domaine de définition de la fonction f.
Théorème des accroissements finis
Ce chapitre est dédié à l’un des résultats fondamentaux du calcul différentiel qui permettra de résoudre pas mal d’exercices. Nous allons commencer par des résultats connus pour des fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles. Nous généraliserons un résultat analogue en dimension supérieure (pour l’espace de départ, puis pour l’espace d’arrivée). Nous terminerons enfin ce chapitre par une application.
Formules de Taylor
Avant de donner les formules de Taylor, qui dépendent des différentielles d’ordre n ≥ 1 dans différents cas de fonctions : fonctions de R dans R, fonctions de R dans R q et fonctions de R p dans R q , nous allons donner un aperçu de ce qu’est une différentielle d’ordre 2 dans un premier temps, avec un théorème de symétrie important : le théorème de Schwarz. Nous définirons également la matrice Hessienne qui nous servira beaucoup dans le chapitre 7 sur les extrema.
Extrema
Ce chapitre est consacré à l’étude de l’existence de deux types d’extrema : les extrema libre et les extrema liés. Les seconds correspondent au cas où les extrema sont justement “liés” à des contraintes. Dans les deux cas, nous pourrons définir ce que l’on appelle extrema locaux (ou relatifs) et les extrema globaux (ou absolus). Il se pourra donc que des minima locaux par exemple ne soit pas globaux si l’on étend le domaine de définition de la fonction f.
Nous ne nous intéresserons également qu’à l’étude de minima (pour simplifier le chapitre) étant donné que les maxima des fonctions f peuvent être vus comme les minima des fonction −f . Enfin, nous ne nous intéresse