Exercice corrigé topologie de rn : Espaces vectoriels normés
Notion de topologie dans Rn- Espaces métriques, distance
- Normes des espaces vectoriels
- Boules ouvertes, fermées et parties bornée
- Ouverts et fermés
- Position d’un point par rapport à une partie de E
- Suites numériques dans un espace vectoriel normé
- Ensemble compact
- Ensemble convexe .
Exercice corrigé PDF
Nous allons dans ce cours, nous intéresser aux fonctions f : U ⊂ R p → R q (p, q ∈ N ∗ ). Pour cela il faudra étudier tout d’abord la structure du domaine U car le domaine est aussi important que la fonction comme nous le verrons.
Nous allons donc définir de nouvelles notions : distances, normes, ouverts, fermés, etc. dans les domaines inclus dans R n qui nous seront utiles tout au long de ce semestre pour tous les nouveaux outils abordés. Toutefois, même si nous travaillerons principalement dans R 2 , R 3 ou de façon générale R n , nous pourrons de temps à autre donner des résultats plus généraux qui resteront valables dans des espaces autres que ceux-ci (ce sera le cas de ce premier chapitre). Mais ce ne seront pas n’importe quels espaces. Les définitions et propositions ci-dessous font en effet intervenir des combinaisons entre eux des éléments d’un même espace, des multiplications par des scalaires, etc. Par conséquent il est nécessaire que cet espace reste stable par combinaison linéaires de ses éléments, et les plus appropriés ici seront les espaces vectoriels que nous rappelons ci-dessous.