Séries entières
Définition
Rayon et disque de convergence
Propriétés de la somme d’une série entière
Développement d’une fonction en série entière
Méthodes et développements classiques en série entière
Rayon et disque de convergence
Propriétés de la somme d’une série entière
Développement d’une fonction en série entière
Méthodes et développements classiques en série entière
Exercice Corrigé PDF
∑ n≥0 an(z − a)n
où les coefficients an forment une suite réelle ou complexe. La série est dite entière du fait qu’elle fait intervenir des puissances entières.
Dans ce chapitre on aborde les problèmes suivants :
• Une série entière ∑ an(z − a)n étant donnée, on cherche à déterminer les valeurs de z pour lesquelles la série ∑ an(z − a)n est convergente, ce qui permet de définir une fonction.
Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s’ex- priment pour la plupart à l’aide d’une grandeur associée à la série, son rayon de convergence R. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre a et de rayon R), la fonction somme de la série peut être dérivée indéfiniment terme à terme.
• Réciproquement, étant donné une fonction, peut-on la considérer comme la somme d’une série entière ? Cette série est-elle alors unique ?.
Certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être écrites au voisinage d’un de leurs points a comme somme d’une série entière de la variable z − a : celle-ci est alors leur série de Taylor. Lorsqu’une fonction est développable en série entière en chacun de ses points, elle est dite analytique.