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Travaux dirigése et exercice de Nombres réels Ensa et Ensam S1

Nombres réels
  1. Introduction
  2. Ensembles ordonnés
  3. Valeur absolue
  4. Intervalles de R
  5. Applications
Travaux dirigése et exercice de Nombres réels Ensa et Ensam S1
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Les nombres réels
La question « justifier l’existence de la borne supérieure de tel ensemble » est classique et simple : il suffit pour cela de montrer que l’ensemble en question est une partie non vide et majorée de R. Un théorème admis du cours énonce alors qu’il possède bien une borne supérieure. Il faut garder à l’esprit qu’il est en général difficile de calculer explicitement une borne supérieure.

Il faut donc bien lire l’énoncé : démontrer l’existence d’un objet mathématique ne signifie pas que l’on est capable de l’écrire explicitement. Autrement dit, lorsqu’un énoncé pose une question d’existence (d’une borne supérieure, d’une limite…) mais ne demande pas de valeur explicite, il ne faut pas forcément chercher à déterminer cette valeur.Introduction 1.1
Les ensembles de nombres usuels
On rappelle les ensembles usuelles de nombres et leurs notations :
•L’ensemble des entiers naturels Il est noté N = {0, 1, 2, ...}. Il contient en particulier les entiers pairs et impairs ainsi que les nombres premiers. La somme de deux entiers naturels est un entier naturel de même que leur produit. Par contre la diffèrence de deux entiers naturels n’est pas nécessairement un entier naturel. On notera N ∗ l’ensemble N\{0}.
•L’ensemble des entiers relatifs Il est noté Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. La somme de deux entiers relatifs est un entier relatif de même que leur produit et leur différence. Tout entier naturel est un entier relatif, i.e. Z ⊂ Z. On notera Z ∗ = Z\{0}.
• L’ensemble des nombres rationnels Il est noté Q et est défini par Q = { p q |p ∈ Z, q ∈ N ∗} . Q vérifie un certain nombre de propriétés algébriques, qui font qu’on appelle Q un corps :
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