Exercice Corrigé de Logique Et Ensembles et Applications
TD N°1 TD N°2 TD N°3
Un résultat mathématique est donc un enoncé vrai que l'on peut déduire d'axiomes ou d'autres résultats mathématiques en s'appuyant sur des règles strictes de logique.
Le but de ce premier chapitre est de préciser certaines règles de logique sur lesquelles nous nous appuierons pour justifier les raisonnements utilisés dans nos démonstrations.
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Au début du X Xe siècle le professeur Frege peaufinait la rédaction du second tome d’un ouvrage qui souhaitait refonder les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d’un tout jeune mathématicien : « J’ai bien lu votre premier livre. Malheureusement vous supposez qu’il existe un ensemble qui contient tous les ensembles. Un tel ensemble ne peut exister. » S’ensuit une démonstration de deux lignes. Tout le travail de Frege s’écroulait et il ne s’en remettra jamais. Le jeune Russell deviendra l’un des plus grands logiciens et philosophes de son temps. Il obtient le prix Nobel de littérature en 1950. Voici le « paradoxe de Russell » pour montrer que l’ensemble de tous les ensembles ne peut exister. C’est très bref, mais difficile à appréhender. Par l’absurde, supposons qu’un tel ensemble E contenant tous les ensembles existe.
Introduction à la logique mathématique
Au départ de toute théorie mathématique se trouve un petit nombre d'énoncés que l'on pose comme vrais a priori (on les appelle des axiomes) , à partir desquels se déduisent d'autres résultats mathématiques, ce qui permet d'enrichir les énoncés considérés comme vrais de la théorie en question. Un résultat mathématique qui mérite d'être retenu est en général qualifié de proposition. D'ailleurs, suivant son importance dans le cadre d'une théorie donnée, il pourra aussi être qualifié de
- lemme : résultat d'une importance mineure, apparaissant en général en préambule de résultats plus importants,
- théorème : résultat d'une importance majeure.
Notons qu'un résultat est qualifié de corollaire à un autre résultat si sa démonstration découle directement du résultat mathématique dont il est le corollaire. Un énoncé qui définit un nouvel objet mathématique s'appelle une définition.
Introduction à la logique mathématique
Au départ de toute théorie mathématique se trouve un petit nombre d'énoncés que l'on pose comme vrais a priori (on les appelle des axiomes) , à partir desquels se déduisent d'autres résultats mathématiques, ce qui permet d'enrichir les énoncés considérés comme vrais de la théorie en question. Un résultat mathématique qui mérite d'être retenu est en général qualifié de proposition. D'ailleurs, suivant son importance dans le cadre d'une théorie donnée, il pourra aussi être qualifié de
- lemme : résultat d'une importance mineure, apparaissant en général en préambule de résultats plus importants,
- théorème : résultat d'une importance majeure.
Notons qu'un résultat est qualifié de corollaire à un autre résultat si sa démonstration découle directement du résultat mathématique dont il est le corollaire. Un énoncé qui définit un nouvel objet mathématique s'appelle une définition.
Un résultat mathématique est donc un enoncé vrai que l'on peut déduire d'axiomes ou d'autres résultats mathématiques en s'appuyant sur des règles strictes de logique.
Le but de ce premier chapitre est de préciser certaines règles de logique sur lesquelles nous nous appuierons pour justifier les raisonnements utilisés dans nos démonstrations.