Travaux dirigése et exercice de algèbre 2 MIP (SMIA) S1

 Travaux dirigése et exercice de algèbre 2 MIP (SMIA)  S1

Chapitre : Structure de groupe : cliquer ici
Chapitre : Polynômes  : cliquer ici
Chapitre : Fractions rationnelles : cliquer ici

Qu'est-ce qu'un axiome ?
D'Alembert écrit, dans son Encyclopédie (1788) :
Axiome : En Mathématiques, on appelle axiomes des propositions évidentes par elles–
mêmes, et qui n'ont pas besoin de démonstrations. Telles sont les propositions suivantes
: le tout est plus grand que la partie ; si à deux grandeurs égales on ajoute des
grandeurs égales, les sommes seront égales ; si deux figures étant appliquées l'une sur
l'autre se couvrent parfaitement, ces deux figures sont égales en tout.
Théorème : c'est une proposition qui énonce et démontre une vérité.
Notre conception moderne des axiomes ne correspond plus à des notions évidentes par elles–mêmes
ou des principes très clairs. On fait actuellement reposer une théorie mathématique sur des notions
primitives (non définies) et les axiomes ne servent qu'à décrire les règles d'utilisation de ces notions
primitives. Voici des exemples modernes d'axiomes et de notions primitives :
i) La notion d'ensemble et d'appartenance est une notion primitive. On ne cherchera à définir
ni l'une ni l'autre.
ii) Frege, en 1893, avait proposé comme axiome le suivant : Φ étant un prédicat quelconque,
il existe un ensemble A tel que, pour tout x, x appartient à A si et seulement si Φ(x) est vrai. Russel,
en 1902, proposa de prendre comme prédicat : Φ(x) ⇔ x ∉ x. D'après Frege, il existe alors un
ensemble A tel que :

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Qu'est-ce qu'un axiome ?
D'Alembert écrit, dans son Encyclopédie (1788) :
Axiome : En Mathématiques, on appelle axiomes des propositions évidentes par elles–
mêmes, et qui n'ont pas besoin de démonstrations. Telles sont les propositions suivantes
: le tout est plus grand que la partie ; si à deux grandeurs égales on ajoute des
grandeurs égales, les sommes seront égales ; si deux figures étant appliquées l'une sur
l'autre se couvrent parfaitement, ces deux figures sont égales en tout.
Théorème : c'est une proposition qui énonce et démontre une vérité.
Notre conception moderne des axiomes ne correspond plus à des notions évidentes par elles–mêmes
ou des principes très clairs. On fait actuellement reposer une théorie mathématique sur des notions
primitives (non définies) et les axiomes ne servent qu'à décrire les règles d'utilisation de ces notions
primitives. Voici des exemples modernes d'axiomes et de notions primitives :
i) La notion d'ensemble et d'appartenance est une notion primitive. On ne cherchera à définir
ni l'une ni l'autre.
ii) Frege, en 1893, avait proposé comme axiome le suivant : Φ étant un prédicat quelconque,
il existe un ensemble A tel que, pour tout x, x appartient à A si et seulement si Φ(x) est vrai. Russel,
en 1902, proposa de prendre comme prédicat : Φ(x) ⇔ x ∉ x. D'après Frege, il existe alors un
ensemble A tel que :