exercice corrigé structure algébrique
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Structure de groupe
Les
trois structures algébriques que nous présentons maintenant (à savoir les structures de groupe, d'anneau et de corps) sont
fondamentales. Commençons par la définition d'un groupe.
Structure d'anneau
Il est possible de munir un groupe (E, T)
d'une seconde loi de composition interne. Si cette seconde loi possède de « bonnes » propriétés calculatoires, on obtient une structure algébrique appelée anneau. Notons * cette seconde loi de composition interne. Le
triplet ( E, T, *) est encore appelé ensemble structuré.
Structure de corps
Dans un anneau, un élément ne possède pas nécessairement çle symétrique par rapport à la seconde loi (ou d'inverse puisque la seconde loi est souvent notée multiplicativement) . Il est à noter que le zéro d'un anneau est absorbant pour la seconde loi. Il ne peut donc
pas être symétrisable pour la seconde loi.
Le corps des réels
Généralités On suppose
connues les propriétés de l'ensemble N des entiers naturels et de l'ensemble Z des
entiers relatifs. On désigne par + et x l'addition et la multiplication entre entiers.