exercice corrigé Nombres complexes

 

exercice corrigé Nombres complexes

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- Le corps C des nombres complexes
Opérations arithmétiques, conjugaison et module, exponentielle complexe, racine nième de l’unité, similitudes complexes

On note ainsi de la même manière les opérations dans C et dans lR. Cette similitude dans les notations n'est en aucun cas gênante dans la pratique puisque les règles pour le calcul algébrique sont les mêmes dans lR ou dans C (ce sont deux corps commutatifs) . On peut manipuler les éléments de C comme l'on manipule ceux de R On peut donc factoriser et/ou développer des expressions dans C comme on en a pris l'habitude dans JR, en prenant soin néanmoins de remplacer i2 par -1 à chacune de ses apparitions dans une expression. Seule la nature des éléments que l'on manipule est différente. Par exemple,

La manipulation de l'expression de gauche est moins lourde que celle de droite. Elles représentent pourtant le même nombre complexe. Seule l'écriture diffère. Remarquons que les opérations sur les nombres complexes, lorsqu'elles sont appliquées aux complexes particuliers que sont les nombres réels, redonnent

les résultats connus dans lR. En ce sens, on dit que les opérations algébriques définies sur C prolongent celles définies sur 1R. On vérifie facilement la propriété suivante.

 

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Opérations arithmétiques, conjugaison et module, exponentielle complexe, racine nième de l’unité, similitudes complexes

On note ainsi de la même manière les opérations dans C et dans lR. Cette similitude dans les notations n'est en aucun cas gênante dans la pratique puisque les règles pour le calcul algébrique sont les mêmes dans lR ou dans C (ce sont deux corps commutatifs) . On peut manipuler les éléments de C comme l'on manipule ceux de R On peut donc factoriser et/ou développer des expressions dans C comme on en a pris l'habitude dans JR, en prenant soin néanmoins de remplacer i2 par -1 à chacune de ses apparitions dans une expression. Seule la nature des éléments que l'on manipule est différente. Par exemple,

La manipulation de l'expression de gauche est moins lourde que celle de droite. Elles représentent pourtant le même nombre complexe. Seule l'écriture diffère. Remarquons que les opérations sur les nombres complexes, lorsqu'elles sont appliquées aux complexes particuliers que sont les nombres réels, redonnent

les résultats connus dans lR. En ce sens, on dit que les opérations algébriques définies sur C prolongent celles définies sur 1R. On vérifie facilement la propriété suivante.