L’objectif de ce cours est de donner aux étudiants des connaissances de base en algèbre : Eléments de logique, vocabulaire ensembliste, différents modes de raisonnements, propriétés des applications, relations d’équivalence, relations d’ordre.
Cours Logique et Ensembles ET Applications
cours N°1 cours N°2
cours N°3 cours N°4
cours N°5 cours N°6
cours N°7 cours N°8
cours N°9 cours N°10
cours N°11 cours N°12
cours N°13 cours N°14
Sesquilinéarité
Dans le cas où le corps de base est le corps des complexes, les formes bilinéaires symétriques et les formes quadratiques associées ne sont pas les bonnes généralisations du produit scalaire : une forme quadratique est à valeurs complexes et ne peut permettre de définir une norme. La bonne généralisation est celle des formes sesquilinéaires hermitiennes et des formes hermitiennes associées, où le carré du module remplace le carré.
Démonstration
L’existence d’une base orthogonale est assurée dans le cas général d’une forme bilinéaire symétrique. Dans le cas euclidien ou hermitien, le rang est égal à la dimension, la forme quadratique ne prend que des valeurs strictement positives sur les vecteurs non nuls, ce qui permet d’obtenir une base orthonormale à partir d’une base orthogonale. Le reste suit, en observant néanmoins que dans le cas hermitien, sont conjugués.
Proposition
f est autoadjoint si et seulement si sa matrice, dans une base orthonormale est égale à son adjointe. On dit qu’elle est auto-adjointe (hermitienne dans le cas complexe, symétrique dans le cas réel). À ce stade de notre étude, on peut observer la situation suivante. Si E est un espace vectoriel euclidien, une matrice symétrique peut s’interpréter de deux façons :
Soit comme la matrice d’une forme bilinéaire symétrique, par rapport à une base.
Soit comme la matrice d’un endomorphisme autoadjoint par rapport à une base orthonormale.
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Sesquilinéarité
Dans le cas où le corps de base est le corps des complexes, les formes bilinéaires symétriques et les formes quadratiques associées ne sont pas les bonnes généralisations du produit scalaire : une forme quadratique est à valeurs complexes et ne peut permettre de définir une norme. La bonne généralisation est celle des formes sesquilinéaires hermitiennes et des formes hermitiennes associées, où le carré du module remplace le carré.
Démonstration
L’existence d’une base orthogonale est assurée dans le cas général d’une forme bilinéaire symétrique. Dans le cas euclidien ou hermitien, le rang est égal à la dimension, la forme quadratique ne prend que des valeurs strictement positives sur les vecteurs non nuls, ce qui permet d’obtenir une base orthonormale à partir d’une base orthogonale. Le reste suit, en observant néanmoins que dans le cas hermitien, sont conjugués.
Proposition
f est autoadjoint si et seulement si sa matrice, dans une base orthonormale est égale à son adjointe. On dit qu’elle est auto-adjointe (hermitienne dans le cas complexe, symétrique dans le cas réel). À ce stade de notre étude, on peut observer la situation suivante. Si E est un espace vectoriel euclidien, une matrice symétrique peut s’interpréter de deux façons :
Soit comme la matrice d’une forme bilinéaire symétrique, par rapport à une base.
Soit comme la matrice d’un endomorphisme autoadjoint par rapport à une base orthonormale.