cours Fonctions réelles SMPC S1

Cours sur les fonctions réelles d'une variable réelle
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Presque toutes les fonctions de terminale sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition :

1. • les fonctions polynômes sont continues sur R ;
2. • les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition ;
3. • les fonctions exponentielles sont continues sur R ;
4. • les fonctions logarithme népérien et logarithme décimal sont continues sur ]0, +∞[ ;
5. • les fonctions racines n-èmes sont continues sur [0, +∞[ ;

Limites de fonctions et continuité
Notre but ici est de passer des limites de suites aux limites de fonctions. Pour motiver ceci, repensons à l’exemple de l’introduction f(x):= sin(x)/x. Rappelons que le graphique I.3 montre que si x est proche de zéro alors f(x) doit être proche de 1. Pour donner un sens précis à cette assertion, on pourrait prendre une suite xn → 0 et regarder si f(xn) → 1. Cependant, considérer une unique suite ne suffit pas. Une suite ne peut parler que de certains x proches de 0, en aucun cas de tous les x dans un voisinage 1 de 0. Il est donc nécessaire de regarder, pour n’importe quelle suite (xn)n∈I qui tend vers 0 si f(xn) → 1. Si c’est le cas, nous dirons que 1 est la limite de f(x) lorsque x tend vers 0. Une remarque avant de donner la définition formelle : pour pouvoir parler de la limite de f en 0 nous avons pris des suites du domaine de f qui convergaient vers 0. Si de telles suites n’existaient pas, la démarche n’aurait pas grand intérêt ! Par exemple, un fonction f(x) définie pour x ∈ [0,1] ne nous permet pas de dire grand chose sur le point x = 2 ! Il faut donc que le point auquel on veut calculer la limite soit dans l’adhérence du domaine. La définition suivante permet la subtilité supplémentaire de spécifier une direction (en contraignant les suites à appartenir à un ensemble A) dans laquelle on prend la limite.
• les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R, la fonction tangente est continue sur tout intervalle ne contenant pas un nombre de la forme π 2 + kπ, k ∈ Z.
• la fonction valeur absolue est continue sur R ;
• toutes les fonctions obtenues par opérations (somme, produit, quotient) ou composition à partir de ces fonctions de référence sont aussi continues sur leur domaine de définition.

Dérivation complexe
Dans ce chapitre, on donne la définition — très simple — d'une fonction holomorphe, et on tire les conséquences les plus immédiates de celle-ci. On établit aussi les conditions qui caractérisent l'holomorphie par des propriétés différentielles ("équations de Cauchy")

Exemple
On ne peut évidemment pas tirer de conclusions générales à partir de trois exemples ! mais les exemples 2 et 3 suggèrent que des fonctions très simples et très régulières peuvent ne pas être dérivables, ou l'être de manière exceptionnelle. Cette situation contraste avec celle des fonctions d'une variable réelle. Ce contraste ne fera que s'accentuer : l'holomorphie est une condition contraignante, qui s'accompagne de phénomènes tout à fait remarquables