cours sur les nombres réels

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Cours : Opérations et Bornes et Intervalles et Rationnels et irrationnels et Approximation des réels et Construction des bornes
Entraînement : Vrai ou faux et Exercices et QCM et Devoir et Corrigé du devoir
Compléments : Papier normalisé et La constante de Ramanujan et Nombres incommensurables et Les frères Banu-Musâ et La numérisation des raisons et Les coupures de Dedekind et Point fixe d’une application croissante

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Les nombres réels

La notion intuitive que nous avons de l'ensemble des nombres réels n'est pas seulement ensembliste :et même ont le même cardinal, ce qui signifie qu'il existe une bijection de l'un sur l'autre, généralisation aux ensembles infinis du fait, pour les ensembles finis, d'avoir le même nombre d'éléments. Pourtant nous nous en faisons une idée différente. Ceci est dî au fait que l'on a présentes à l'esprit, en même temps, la structure d'ensemble ordonné de et sa topologie usuelle compatible avec celle-là. Approcher un point de a quelque chose de linéaire, c'est une approche ordonnée; ceci n'est pas le cas dans .
Malgré une utilisation très ancienne des nombres réels, il faut attendre le siècle pour qu'ils soient définis de manière rigoureuse. Pendant longtemps, on s'est contenté de justifications intuitives en évoquant "l'évidence géométrique». Le besoin de définir précisément les notions de continuité et de limite apparait vers 1820 avec Bernhart Bolzano et Augustin-Louis Cauchy, et se développe avec Karl Weierstrass vers 1850. Ce dernier propose en 1863 la première construction des nombres réels. Il ne la publie qu'en 1872, après que Charles Méray et Georg Cantor (suites de Cauchy de nombres rationnels) et Richard Dedekind (coupures dans l'ensemble des nombres rationnels) en aient détaillé d'autres.

Introduction
La physique moderne peut-elle se contenter des modèles mathématiques qui l’ont amenée aux confins de la connaissance de notre monde macroscopique ? Non, à l’évidence, les hommes ont besoin de réaliser des objets, de vérifier leurs théories, d’expérimenter, de simuler, d’explorer. En somme, les hommes ont besoin de chercher, de créer et de comprendre.

Actuellement, la science du mouvement, la mécanique, repose sur trois appuis qui assurent son équilibre : la modélisation mathématique, la simulation numérique et l’expérience. Or, le coût de l’expérimentation, la difficulté de la modélisation et la puissance sans cesse accrue du calcul numérique ont déséquilibré ce bel édifice au détriment de la réflexion.

L'ANALYSE MATHEMATIQUE 
donne un ensemble de regles gouvernant la manipulation des limites et des infiniment petits: regles de changement de variables, regles d'interversion de limites, regles de derivation so us Ie signe integrale, etc. On ne peut toutefois reduire I'Analyse a cette gymnastique formeJle sans perdre de vue ses objets principaux et Ie sens meme de sa demarche.

Des Ie xvme siecle les series ont ete utilisees pour definir des fonctions nouvelles. Dans un langage moderne, l'Analyse demontre des theoremes d'exlSfence en formulant les problerres dans des espaces complets convenables. Lorsqu'un resultat d'existence est precise par un theoreme d'unicite, alors, et seulement alors, la notion de solution approchee a un sens ; Ies algorithmes numeriques de caIcul des solutions approchees proviendront souvent de la demarche anterieure de l'Analyste.

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Cours : Opérations et Bornes et Intervalles et Rationnels et irrationnels et Approximation des réels et Construction des bornes
Entraînement : Vrai ou faux et Exercices et QCM et Devoir et Corrigé du devoir
Compléments : Papier normalisé et La constante de Ramanujan et Nombres incommensurables et Les frères Banu-Musâ et La numérisation des raisons et Les coupures de Dedekind et Point fixe d’une application croissante

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La notion intuitive que nous avons de l'ensemble des nombres réels n'est pas seulement ensembliste :et même ont le même cardinal, ce qui signifie qu'il existe une bijection de l'un sur l'autre, généralisation aux ensembles infinis du fait, pour les ensembles finis, d'avoir le même nombre d'éléments. Pourtant nous nous en faisons une idée différente. Ceci est dî au fait que l'on a présentes à l'esprit, en même temps, la structure d'ensemble ordonné de et sa topologie usuelle compatible avec celle-là. Approcher un point de a quelque chose de linéaire, c'est une approche ordonnée; ceci n'est pas le cas dans .
Malgré une utilisation très ancienne des nombres réels, il faut attendre le siècle pour qu'ils soient définis de manière rigoureuse. Pendant longtemps, on s'est contenté de justifications intuitives en évoquant "l'évidence géométrique». Le besoin de définir précisément les notions de continuité et de limite apparait vers 1820 avec Bernhart Bolzano et Augustin-Louis Cauchy, et se développe avec Karl Weierstrass vers 1850. Ce dernier propose en 1863 la première construction des nombres réels. Il ne la publie qu'en 1872, après que Charles Méray et Georg Cantor (suites de Cauchy de nombres rationnels) et Richard Dedekind (coupures dans l'ensemble des nombres rationnels) en aient détaillé d'autres.

Introduction
La physique moderne peut-elle se contenter des modèles mathématiques qui l’ont amenée aux confins de la connaissance de notre monde macroscopique ? Non, à l’évidence, les hommes ont besoin de réaliser des objets, de vérifier leurs théories, d’expérimenter, de simuler, d’explorer. En somme, les hommes ont besoin de chercher, de créer et de comprendre.

Actuellement, la science du mouvement, la mécanique, repose sur trois appuis qui assurent son équilibre : la modélisation mathématique, la simulation numérique et l’expérience. Or, le coût de l’expérimentation, la difficulté de la modélisation et la puissance sans cesse accrue du calcul numérique ont déséquilibré ce bel édifice au détriment de la réflexion.

L'ANALYSE MATHEMATIQUE 
donne un ensemble de regles gouvernant la manipulation des limites et des infiniment petits: regles de changement de variables, regles d'interversion de limites, regles de derivation so us Ie signe integrale, etc. On ne peut toutefois reduire I'Analyse a cette gymnastique formeJle sans perdre de vue ses objets principaux et Ie sens meme de sa demarche.

Des Ie xvme siecle les series ont ete utilisees pour definir des fonctions nouvelles. Dans un langage moderne, l'Analyse demontre des theoremes d'exlSfence en formulant les problerres dans des espaces complets convenables. Lorsqu'un resultat d'existence est precise par un theoreme d'unicite, alors, et seulement alors, la notion de solution approchee a un sens ; Ies algorithmes numeriques de caIcul des solutions approchees proviendront souvent de la demarche anterieure de l'Analyste.