Calcul des Probabilités
- Langage probabiliste
- Espaces probabilisés
- Probabilité conditionnelle
- Dénombrement
Variables aléatoires discrètes
- Loi de probabilité - Fonction de répartition
- Paramètres d’une variable aléatoire discrète
- Lois de probabilité discrètes usuelles
- Couple de variables aléatoires discrètes
Variables aléatoires continues
- Fonction de répartition - Fonction densité de probabilité
- Changement de variables aléatoires continues
- Paramètres d’une variable aléatoire continue
- Lois de probabilité continues usuelles
- Approximations par une loi normale
- Loi conjointe d’un couple de variables aléatoires
Cours les probabilités
Introduction
générale Dans la première partie de ce cours, on a introduit les méthodes statistiques nécessaires pour décrire et analyser un ensemble de données. Pour pouvoir utiliser ces informations et essayer de les généraliser à toute une population, on aura besoin d’autres outils mathématiques. Ces outils sont basés sur la théorie des probabilités qui est une branche des mathématiques fondamentale à l’étude de tous les phénomènes aléatoires pour lesquels il existe des éléments d’incertitude.
Historiquement, le calcul des probabilités concernait principalement l’étude et la modélisation des jeux de hasard. La probabilité est définie comme étant le nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles et la solution fait souvent appel au dénombrement. Cependant l’avènement des probabilités comme discipline mathématique est relativement récent. C’est à la suite des travavaux de Pascal, Fermat, Huygens, Bernoulli que Laplace, Poisson, Gauss et d’autres auteurs ont formalisé la théorie des probabilités ce qui a permi l’extension de son usage à différentes disciplines.
L'univers n et les réalisations possibles du hasard
On prendra bien garde au fait que, entre une expérience réelle et sa transcription mathématique (choix de n puis description d'une probabilité sur n), il y a une étape de modélisation. Cette étape est la seule partie non mathématique de la théorie des probabilités ; elle est évidemment sujette à caution et procède de choix (nous le verrons notamment dans le chapitre consacré à l'indépendance de variables aléatoires). Une fois cette modélisation faite, on peut presque oublier l'aspect intuitif de la théorie des probabilités ; il suffit simplement de s'adapter au vocabulaire local.
Compter/mesurer
Une fois défini un univers, ensemble n dont les éléments sont des réalisations possibles du monde, on cherche à évaluer, quantitativement, celles qui sont plus ou moins susceptibles de se produire. On cherche ainsi à associer à chaque w une grandeur numérique, modèle mathématique de la notion intuitive de probabilité. Deux situations se présentent, que nous appellerons génériquement le cas discret et le cas continu.
Calcul des probabilités
Une fois défini notre univers, nous devons maintenant répondre à la question : quelles sont les « versions du monde » qui sont les plus probables ? Plus précisément, quelle probabilité associer, si possible, à chaque élément w de n ou, du moins, à chaque événement A?
Est-ce tout ?
Non, loin de là. Certaines variables ne sont ni à densité, ni discrètes, mais un mélange des deux : un exemple classique est celui du temps d'attente à un feu de circulation, qui peut prendre des valeurs continues sur un intervalle , où T est la durée du feu rouge dans le cycle des couleurs, mais tel que est strictement positive (probabilité d'arriver pendant que le feu est au vert).
D'autres encore sont d'un type plus délicat à décrire. Et puis, bien évidemment, on peut considérer des applications à valeurs vectorielles, ce qui fera l'objet de plusieurs chapitres de cet ouvrage.