Objectifs
Ce module permet aux étudiants de maitriser le calcul matriciel, d’acquérir les connaissances nécessaires concernant les applications linéaires, leurs représentations matricielles, les matrices de passages, le calcul des déterminants, le polynôme caractéristique et les valeurs propres d’une matrice, la diagonalisation et la trigonalisation d’une matrice et la réduction des formes quadratiques.
Ce module permet aux étudiants de maitriser le calcul matriciel, d’acquérir les connaissances nécessaires concernant les applications linéaires, leurs représentations matricielles, les matrices de passages, le calcul des déterminants, le polynôme caractéristique et les valeurs propres d’une matrice, la diagonalisation et la trigonalisation d’une matrice et la réduction des formes quadratiques.
Exercices pour fahsi TD 1
Diagonalisation des matrices TD 1
Table des Matières
Chapitre 1. DÉTERMINANT
I. Préliminaire sur les permutations (sans démonstrations)
II. Définition et propriété des déterminants
II.1. Déterminant d’une matrice
II.2. Déterminant d’une famille de vecteurs
II.3. Propriétés
II.4. Formes multilinéaires
III. Calcul de déterinants
III.1. Déterminants de matrices particulières
III.2. Méthodes de calcul
IV. Application des déterminants
IV.1. Calcul de l’inverse d’une matrice
IV.2. Système de Cramer
IV.3. Orientation de l’espace
Chapitre 2. RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES
I. Diagonalisation
I.1. Valeur propre - Vecteur propre
I.2. Polynôme caractéristique
I.3. Étude des sous-espaces propres
I.4. Endomorphismes diagonalisables
I.5. Exemple de diagonalisation
II. Trigonalisation
II.1. Endomorphismes trigonalisables
II.2. Exemple de trigonalisation
III. Polynômes d’endomorphismes - Polynôme minimal
III.1. Polynômes d’endomorphismes
III.2. Polynôme minimal
III.3. Théorème de Cayley-Hamilton
III.4. Lemme de décomposition des noyaux
III.5. Diagonlisation à l’aide du polynôme minimal
III.6. Diagonalisation simultanée
IV. Sous-espaces caractéristiques
IV.1. Définition
IV.2. Comparaison avec les sous-espaces propres
IV.3. Stabilité des sous-espaces caractéristiques
IV.4. Théorème de décomposition en sous-espaces caractéristiques
IV.5. Autre définition des sous-espaces caractéristiques
IV.6. Nouveau théorème de diagonalisation
IV.7. Applications linéaires restreintes
IV.8. Trigonalisation des matrices en blocs relatifs aux sous-espaces caractéristiques
V. Endomorphismes nilpotents