Analyse 4

I – GENERALITES 

1) Définitions 

2) Condition nécessaire de convergence d’une série 

3) Une évidence fondamentale 

4) Somme de série convergente 

5) Equivalence Suite/série 

6) Reste d’ordre 𝒏𝒏 d’une série convergente 

7) Structure algébrique de l’ensemble des séries convergentes 

8) Propriété de CAUCHY 

II – SERIES A TERMES POSITIIFS 

1) Lemme fondamental 

2) Théorème de comparaison 

3) Comparaison avec une intégrale 

4) Séries de Riemann 

5) Série géométrique 

6) Règle de d’Alembert, Règle de CAUCHY 

III – SERIES A TERMES DANS LES ESPACES VECTORIELS NORMES 

1) CNS de CAUCHY 

2) Converge normale 

3) Série usuelles 

a – Série géométrique 

b – Série exponentielle 

4) Suites sommables de réel ou de complexes 

5) Séries alternées

Avant-propos

L’apprentissage des mathématiques requiert la recherche active et régulière de nombreux exercices, c’est pourquoi chaque chapitre du cours en propose un grand choix. Ces exercices, tous entièrement corrigés, vont du test de compréhension et d’application directe du cours à l’exercice plus élaboré destiné au travail d’approfondissement. Pour les révisions, le lecteur trouvera un chapitre entièrement consacré à des problèmes de synthèse, tous entièrement corrigés, et pour lesquels nous avons systématiquement privilégié la solution méthodique et raisonnable que peut découvrir l’étudiant lui-même, à une éventuelle solution “rusée”, voire “miraculeuse”. 

Cet ouvrage est le fruit d’une expérience de plusieurs années de cours et de travaux dirigés à l’Université d’Angers, sa rédaction a été guidée par un souci pédagogique constant, et nous avons recherché l’équilibre nécessaire entre les points de vue théorique et pratique. Si ce livre s’adresse principalement aux étudiants des trois années de la Licence, il est conçu de manière à être utilisé avec profit par les candidats au CAPES de Mathématiques ou à l’Agrégation interne ainsi que par les élèves des classes préparatoires scientifiques.