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TD analyse 4

Les séries de fonctions trouvent leur utilité dans la résolution d’équations différentielles, ou d’équations aux d´erivées partielles. Bien souvent, ces équations n’ont pas de solution évidente exprimable a l’aide de fonctions usuelles. L’idée est donc de chercher des solutions sous forme de séries. Donnons un exemple.

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Premières propriétés 
Avant d'aborder les choses étonnantes, liquidons quelques banalités au demeurant indispensables à connaître. Formellement, la définition de la dérivée d'une fonction complexe d'une variable complexe transpose exactement celle de la dérivée d'une fonction réelle d'une variable réelle. C'est pourquoi nombre de propriétés valides dans le cas réel s'étendent directement au cas complexe. Les démonstrations étant les mêmes mutatis mutandis nous ne les donnerons pas. Nous invitons cependant le lecteur à les retrouver pour lui-même, en se reportant éventuellement à un cours standard sur les fonctions d'une variable réelle.