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TD analyse 4

Les séries de fonctions trouvent leur utilité dans la résolution d’équations différentielles, ou d’équations aux d´erivées partielles. Bien souvent, ces équations n’ont pas de solution évidente exprimable a l’aide de fonctions usuelles. L’idée est donc de chercher des solutions sous forme de séries. Donnons un exemple.


TD Suites et series de fonctions et séries entières cliquez ici




Introduction 
La rédaction de ce cours n'aurait jamais abouti à ce petit ouvrage sans l'insistance amicale mais déterminée de Thierry Fack. Je tiens à l'en remercier. Pourtant, à l'heure du "bouclage" comme on dit chez les journalistes voici que j'éprouve les affres du doute. Fallait-il bien publier encore une fois un cours élémentaire d'analyse complexe, après tant d'autres textes excellents ? 

mais puisque c'est chose faite, je peux bien avouer que j'ai pris grand plaisir à rédiger ces notes, même si elles m'éloignent de mes préoccupations habituelles ou peut-être à cause de cela. Je profite de cette introduction pour remercier tous ceux qui ont partagé avec moi cet enseignement, Alain Coste, Michel Crétin, Ibrahim Rihaoui, Michel Rome, Daniel Sondaz. Enfin je veux dire un grand merci à Marie du Cloux, qui s'est acquittée de la frappe du texte avec une compétence impeccable, sans oublier Fokko du Cloux dont la relecture sourcilleuse aura permis de corriger plus d'une faute.

Représentation graphique des nombres complexes 
On peut interpréter les nombres complexes z = x + iy comme des points (x,y) du plan cartésien. C’est pourquoi nous parlons du plan complexe. L’axe des x est l’axe réel et l’axe des y est l’axe imaginaire. Un nombre complexe est alors représenté comme un vecteur partant de l’origine. L’addition de deux nombres complexes est analogue à l’addition de deux vecteurs. II en est de même de la soustraction.

Premières propriétés 
Avant d'aborder les choses étonnantes, liquidons quelques banalités au demeurant indispensables à connaître. Formellement, la définition de la dérivée d'une fonction complexe d'une variable complexe transpose exactement celle de la dérivée d'une fonction réelle d'une variable réelle. C'est pourquoi nombre de propriétés valides dans le cas réel s'étendent directement au cas complexe. Les démonstrations étant les mêmes mutatis mutandis nous ne les donnerons pas. Nous invitons cependant le lecteur à les retrouver pour lui-même, en se reportant éventuellement à un cours standard sur les fonctions d'une variable réelle.