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TD Algébre 2



Matrices & Déterminants FSTT: TD5-TD6-TD7
Applications linéaires, matrices, déterminants TD 1
Exercices sur la reduction des endomorphismes TD 1
Exercices pour fahsi TD 1
Diagonalisation des matrices TD 1
trigonalisation des matrices TD 1


Table des Matières 

Chapitre 1. DÉTERMINANT 

I. Préliminaire sur les permutations (sans démonstrations)
II. Définition et propriété des déterminants
II.1. Déterminant d’une matrice
II.2. Déterminant d’une famille de vecteurs 
II.3. Propriétés 
II.4. Formes multilinéaires 
III. Calcul de déterinants 
III.1. Déterminants de matrices particulières 
III.2. Méthodes de calcul 
IV. Application des déterminants 
IV.1. Calcul de l’inverse d’une matrice 
IV.2. Système de Cramer 
IV.3. Orientation de l’espace 

Chapitre 2. RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES

I. Diagonalisation 
I.1. Valeur propre - Vecteur propre 
I.2. Polynôme caractéristique 
I.3. Étude des sous-espaces propres 
I.4. Endomorphismes diagonalisables 
I.5. Exemple de diagonalisation 
II. Trigonalisation 
II.1. Endomorphismes trigonalisables 
II.2. Exemple de trigonalisation 
III. Polynômes d’endomorphismes - Polynôme minimal 
III.1. Polynômes d’endomorphismes 
III.2. Polynôme minimal 
III.3. Théorème de Cayley-Hamilton
III.4. Lemme de décomposition des noyaux 
III.5. Diagonlisation à l’aide du polynôme minimal 
III.6. Diagonalisation simultanée 
IV. Sous-espaces caractéristiques
IV.1. Définition
IV.2. Comparaison avec les sous-espaces propres 
IV.3. Stabilité des sous-espaces caractéristiques 
IV.4. Théorème de décomposition en sous-espaces caractéristiques
IV.5. Autre définition des sous-espaces caractéristiques 
IV.6. Nouveau théorème de diagonalisation 
IV.7. Applications linéaires restreintes 
IV.8. Trigonalisation des matrices en blocs relatifs aux sous-espaces caractéristiques 


V. Endomorphismes nilpotents