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Cours FS Analyse 3

Les séries de fonctions trouvent leur utilité dans la résolution d’équations différentielles, ou d’équations aux dérivées partielles. Bien souvent, ces équations n’ont pas de solution évidente exprimable a l’aide de fonctions usuelles. L’idée est donc de chercher des solutions sous forme de séries. 

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Avant-propos 
Le but de cet cours est de présenter un cours complet sur les notions fondamentales de suites et de séries, aussi bien dans le cadre numérique que dans celui des fonctions. Le programme traité couvre les trois années de la Licence, et le cours est rédigé de manière à ce que chaque lecteur y trouve le niveau adapté à son parcours et à ses attentes. Ainsi, pour le programme relevant du niveau Ll, l’étudiant débutant trouvera des définitions motivées et détaillées ainsi que des énoncés illustés de nombreux exemples et contre-exemples.

Pour le programme spécifique au L2 et au L3, nous avons veillé à ce que la rédaction soit là aussi très détaillée tant au niveau des énoncés que celui des démonstrations, mais nous avons fait appel à un niveau de langage mathématique, notamment celui des quantificateurs, qui permette au lecteur d’acquérir les bases nécessaires à une progression harmonieuse et exigeante

Limites de suites 
En plus des définitions et résultats fondamentaux, nous insisterons dans ce paragraphe sur l’axiome de la borne supérieure, qui distingue de façon décisive l’ensemble R des nombres réels de l’ensemble Q des nombres rationnels, et sur les conséquences de cet axiome dans la théorie des limites : limites de suites monotones, critère de Cauchy, théorème de Bolzano-Weierstrass.

Définition 
On dit qu’une suite numérique (u„) est convergente si elle admet une limite. Dans le cas contraire, on dit que la suite est divergente. 2.10.

Remarque 
La nature d’une suite (c’est-à-dire le fait d’être convergente ou divergente) est inchangée lorsqu’on modifie un ensemble fini de ses termes. De plus, en cas de convergence, la limite est la même.