jeudi 2 mars 2017

FS Analyse 3

Table des matiéres
Fonctions de variable complexe
Fonctions de plusieurs variables
Séries numériques
Suites de fonctions
Séries entières
Séries de Fourier
Cours de Analyse 3 
Travaux dirigés de Analyse 3

Les résultats concernant la théorie des fonctions holomorphes d’une ou plusieurs variables complexes sont très nombreux, car c’est une théorie relativement ancienne (et la recherche dans ce domaine des mathématiques est toujours très active). Pour aborder cette théorie, l’étudiant aura intérêt à procéder par étapes. Ce livre peut être vu comme la première de ces étapes. Donnons quelques explications à ce sujet , on généralise la notion de dérivabilité au cas des fonctions d’une variable complexe. Il est aussi question des déterminations continues de l’argument, un point qui sera essentiel dans d’autres chapitres

Prérequis 
Ce cours peut être abordé immédiatement après un premier cycle de mathématiques. Les notions de topologie qui relèvent d'un niveau plus élevé n'interviennent qu'à l'avantdernier et au dernier chapitre. La seule entorse notable à ce parti pris d'élémentarité est dans l'appel à la notion de famille sommable, dans les quelques circonstances où s'en passer tiendrait plus du masochisme que d'un souci de simplicité. Les notations sont largement standard. Si z est un nombre complexe, Re(z), Im (z), \z\, Arg(z) désignent respectivement la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l'argument de z. Rappelons que Arg(z) n'est défini que pour z , et consiste alors en une classe modulo 2n de nombres réels. Les disques ouvert et fermé de centre a et de rayon r sont notés respectivement 

Avant-propos 
Ce livre est destiné aux étudiants en mathématiques et en sciences qui prennent un premier contact avec la théorie des variables complexes. Nous pensons répondre à un besoin car on ne trouve pas facilement de livre français adapté à leur préparation dans ce domaine. La matière est présentée selon la tradition américaine. Nous avons aussi divisé les sujets de façon à faire des paragraphes plutôt courts, comme on pourra le voir en parcourant la table des matières. Le contenu, dans son ensemble, est tout à fait classique pour un premier cours. 

Cependant nous avons voulu ouvrir certains horizons à l’étudiant en effleurant quelques sujets plus avancés comme, par exemple, les fonctions multiformes et les surfaces de Riemann, le théorème de Picard, l’indice d’un point par rapport à une courbe, le théorème de Riemann sur les transformations conformes. Nous pensons ainsi avoir mieux fait voir aux étudiants la richesse de cette théorie et les avoir incités à poursuivre.